Per fare comprendere ad una persona (che non ha dimestichezza con la matematica) il significato di crescita esponenziale del numero di contagiati da Sars-Cov-2, basta rinfrescargli la memoria su quanto ha studiato in aritmetica alla Scuola Media a proposito del significato di “potenza”.
La potenza è un’operazione che coinvolge due numeri indicati, per esempio, con a e x: a costituisce la base e x l’esponente (che riguardo all’argomento trattato è un numero variabile), il cui risultato è dato dal prodotto della base a per se stessa x volte. Se, a titolo di esempio, a = 3 e x = 4, la potenza si scrive 34 e si esegue l’operazione moltiplicando il numero 3 per se stesso 4 volte, cioè 34 = 3x3x3x3 = 81.
In biologia, quando si prepara un brodo di coltura di microbi in una capsula Petri, la crescita del loro numero avverrà per via esponenziale (cioè per potenza): ogni microbo subirà la mitosi, cioè si dividerà in due microbi figli, geneticamente uguali al progenitore; a loro volta ognuno subirà la mitosi producendo 4 microbi, questi dividendosi ne produrranno 8, e così via. Si avrà quindi una crescita esponenziale derivante dalla potenza 2n, dove 2 è la base, che corrisponde alla divisione in due ed n è l’esponente che rappresenta il numero di divisioni.
Alla prima divisione si ha 21 = 2, alla seconda 22 = 4, alla terza divisione si avrà 23 = 2x2x2 =8, … alla quindicesima divisione si avrà 215 = 2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2 = 32.768, … alla ventiduesima si avrà 222 = 4.194.304 (cioè più di quattromilioni di microbi). … I risultati sono riportati nella tabella (che non è esaustiva): nella prima e terza colonna è indicato il numero di divisioni n, e nella seconda e quarta colonna il numero di microbi corrispondente.
| 1 | 2 | 12 | 4.096 |
| 2 | 4 | 13 | 8.192 |
| 3 | 8 | 14 | 16.384 |
| 4 | 16 | 15 | 32.768 |
| 5 | 32 | 16 | 65.536 |
| 6 | 64 | 17 | 131.072 |
| 7 | 128 | 18 | 262.144 |
| 8 | 256 | 19 | 524.288 |
| 9 | 512 | 20 | 1.048.576 |
| 10 | 1024 | 21 | 2.097.152 |
| 11 | 2048 | 22 | 4.194.304 |
Nel caso della trasmissione del virus, l’ISS (Istituto Superiore di Sanità) ha usato inizialmente per il contagio dal virus Sars-Cov-2 il “numero di riproduzione di base”, indicato con R0, che misura la potenziale trasmissibilità della malattia e rappresenta il numero medio di infezioni trasmesse da ogni individuo infetto ad inizio epidemia. Se R0 = 2 circa vuol dire che un singolo malato infetterà mediamente due persone venendone a contatto, ognuna di queste a sua volta mediamente ne infetterà altre due, e così via. Ultimamente è comparso l’indice Rt, il “numero di riproduzione netto” che è equivalente alla riproduzione di R0, con la differenza che Rt viene calcolato nel corso del tempo. Rt permette, ad esempio, di monitorare l’efficacia degli interventi nel corso di un’epidemia.
(Nella figura, la curva in verde corrisponde ad una crescita esponenziale (y = ax), quella in rosso ad una crescita lineare (y=x) e quella in blu ad una crescita cubica (y = x3).
Francesco Giuliano
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